Résumé

Nous avons mis au point un modèle de turbulence basé sur un développement asymptotique des équations de Navier-Stokes dans l'hypothèse de non-localité des intéractions aux petites echelles. Ce modèle fournit une expression du tenseur de Reynolds via une estimation des vitesses sous-mailles au lieu des corrélations de vitesses comme c'est le cas pour la majorité des modèles. Le modèle se presente sous la forme d'un couplage de deux équations: une pour les échelles resolues qui depend du tenseur de Reynolds engendré par la dynamique des échelles sous-mailles et une pour les échelles sous mailles qui est utilisée pour calculer le tenseur de Reynolds.
L'hypothèse de non-localité des interactions aux échelles sous-mailles permet de modéliser leur évolution par une équation linéaire inhomogène ou le terme de forcage provient de la cascade d'énergie des échelles résolues vers les échelles sous-mailles. Ce modèle a été mis en oeuvre en utilisant une décomposition des échelles sous-mailles sur des modes de Gabor et implementé numeriquement dans le cas 2D avec conditions aux limites périodiques. Une méthode particulaire (PIC) a été utilisée pour l'intégration des échelles sous-mailles. Les résultats ont été comparés à des résultats de simulations directes dans plusieurs cas d'écoulements typiques. Le modèle a également été appliqué aux cas des écoulements plans parallèles. Une analyse théorique des équations obtenues permet une description des profils moyens de vitesses en accord avec les résultats expérimentaux et les résultats analytiques basés sur l'étude des symétries des équations de Navier-Stokes. Les domaines d'application et les améliorations possibles de ce modèle sont discutés en conclusion.

Abstract

We developed a turbulent model based on asymptotic developpement of the Navier-Stokes equations within the hypothesis of non-local interactions at small scales. This model provides expressions of the turbulent Reynolds subgrid stresses via estimates of the subgrid velocities rather than velocities correlations} as is usually done. The model involves the coupling of two dynamical equations: one for the resolved scales of motions, which depends upon the Reynolds stresses generated by the sub-grid motions, and one for the subgrid scales of motions, which can be used to compute the subgrid Reynolds stresses. The non-locality of interaction at subgrid scales allows to modelise their evolution with a linear inhomogenous equation where the forcing occurs via the energy cascade from resolved to subgrid scales.
This model was solved using a decomposition of sub-grid scales on Gabor's modes and implemented numericaly in 2D with periodic boundary conditions. A particles method (PIC) was used to compute the sub-grid scales. The results were compared with results of direct simulations for several typical flows. The model was also applied to plane parallel flows. An analytical study of the equations allows a description of mean velocity profiles in agreement with experimental results and theoritical results based on the symetries of the Navier-Stokes equation. Possible applications and improvements of the model are discussed in the conclusion.